Was ist eine Wurzel?
Eine Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Gleichung b^n = a lässt sich nach der Basis auflösen, das Ergebnis ist die n-te Wurzel aus a, geschrieben ⁿ√a.
Am bekanntesten ist die Quadratwurzel (n = 2), etwa √25 = 5, denn 5² = 25. Bei der Kubikwurzel (n = 3) lautet die Frage entsprechend, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert den Radikanden ergibt.
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, die kleine Zahl davor Wurzelexponent. Das Wurzelziehen ist damit die Umkehrung der Potenzrechnung, die Sie mit unserem Potenzrechner durchführen.
Wie funktioniert der Wurzelrechner?
Der Wurzelrechner funktioniert in zwei Schritten. Sie tragen Wurzelexponent und Radikand ein und starten die Berechnung mit einem Klick auf "Wurzel berechnen".
Eingaben
Die Eingabefelder sind wie die mathematische Wurzelschreibweise ⁿ√a angeordnet, mit kleinem Exponentenfeld und großem Radikand-Feld.
- Wurzelexponent (n). Eine positive ganze Zahl, standardmäßig 2 für die Quadratwurzel.
- Radikand (a). Die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird. Erlaubt sind auch negative Zahlen, wenn der Wurzelexponent ungerade ist.
Die drei häufigsten Wurzeln wählen Sie per Schnellwahl, nämlich Quadratwurzel, Kubikwurzel und 4. Wurzel. Als Dezimaltrennzeichen akzeptiert der Rechner Komma und Punkt gleichermaßen.
Ergebnisse
Als Ergebnis zeigt der Wurzelrechner den Wert der Wurzel an. Bei glatten Werten erkennt der Rechner das exakte Ergebnis und markiert es mit dem Zusatz "exakt", statt eine gerundete Näherung auszugeben.
Das gilt auch für Dezimalzahlen als Radikand. √1,44 zeigt der Rechner als exakt 1,2 an, nicht als 1,1999999. Bei sehr großen exakten Ergebnissen blenden Sie den vollständigen Wert per Klick ein.
Die Wurzel-Formel
Die Wurzel-Formel ergibt sich direkt aus der Potenzgleichung, umgestellt nach der Basis.
b^n = a ⟺ b = ⁿ√a = a^(1/n)
Beispiele:
√25 = 25^(1/2) = 5, denn 5² = 25
∛27 = 27^(1/3) = 3, denn 3³ = 27
⁴√16 = 16^(1/4) = 2, denn 2⁴ = 16
Ein Wurzelexponent von 2 wird meist weggelassen, √a meint also immer die Quadratwurzel. Bei allen anderen Wurzelexponenten steht die Zahl links über dem Wurzelzeichen.
Beispiele für die Wurzel-Berechnung
Die folgenden Beispiele zeigen die Berechnung Schritt für Schritt.
1. Beispiel mit glattem Ergebnis
Gesucht ist ∛343, die dritte Wurzel aus 343.
Schritt 1: Gleichung aufstellen b³ = 343
Schritt 2: Kandidaten prüfen 6³ = 216 (zu klein), 7³ = 343
Schritt 3: Ergebnis ∛343 = 7
Der Rechner erkennt den glatten Wert und zeigt exakt 7 an.
2. Beispiel mit Dezimalzahl
Gesucht ist √1,44, die Quadratwurzel aus einer Dezimalzahl.
Schritt 1: Gleichung aufstellen b² = 1,44
Schritt 2: Kandidaten prüfen 1,2² = 1,44
Schritt 3: Ergebnis √1,44 = 1,2
Auch dieses Ergebnis erkennt der Rechner als exakt, denn 1,2 × 1,2 = 1,44 geht ohne Rest auf.
3. Beispiel mit irrationalem Ergebnis
Gesucht ist √10, die Quadratwurzel aus einer Zahl ohne glatte Wurzel.
Schritt 1: Eingrenzen 3² = 9 (zu klein), 4² = 16 (zu groß)
Schritt 2: Berechnen √10 = 3,162278
Das Ergebnis liegt wie erwartet zwischen 3 und 4. Da 10 keine Quadratzahl ist, bleibt der Wert irrational, der Rechner rundet auf 10 Nachkommastellen und zeigt kein Exakt-Kennzeichen an.
4. Beispiel mit negativem Radikanden
Gesucht ist ∛-8, die dritte Wurzel aus -8.
Schritt 1: Vorzeichen prüfen Exponent 3 ist ungerade, negativer Radikand erlaubt
Schritt 2: Kandidaten prüfen (-2)³ = -8
Schritt 3: Ergebnis ∛-8 = -2
Bei einem geraden Wurzelexponenten wie √-8 gäbe es dagegen keine reelle Lösung, der Rechner erklärt diesen Fall mit einer verständlichen Meldung statt eines Fehlercodes.
Wurzelrechnung: die wichtigsten Regeln
Für das Rechnen mit Wurzeln gelten feste Regeln, die sich direkt aus den Potenzgesetzen ergeben.
Produktregel: ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b
Quotientenregel: ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b
Wurzel aus Wurzel: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
Potenz der Wurzel: (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)
Ein Beispiel zur Produktregel. √4 · √9 = 2 · 3 = 6, und tatsächlich ist √36 = 6, denn 4 × 9 = 36.
Wo braucht man Wurzeln im Alltag?
Wurzeln stecken in mehr Berechnungen, als auf den ersten Blick sichtbar ist. Drei Beispiele zeigen die praktische Bedeutung.
- Geometrie. Der Satz des Pythagoras berechnet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks über eine Quadratwurzel, ebenso die Diagonale eines Quadrats aus der Seitenlänge.
- Statistik. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und damit ein zentraler Baustein jeder statistischen Auswertung.
- Finanzen. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate über mehrere Jahre lässt sich als Wurzel aus dem Gesamtwachstumsfaktor berechnen.
Häufige Fehler beim Wurzelziehen
Beim Wurzelziehen treten immer wieder dieselben Fehler auf. Vier Stolperfallen sollten Sie kennen.
- Wurzel und Division verwechseln. √16 ist nicht 16 ÷ 2 = 8, sondern die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt, also 4.
- Negative Radikanden bei geraden Wurzeln akzeptieren. √-16 hat im Reellen keine Lösung, nur bei ungeraden Wurzelexponenten wie ∛-8 ist ein negativer Radikand erlaubt.
- Wurzeln bei Addition auseinanderziehen. √(9 + 16) ist nicht √9 + √16 = 7, sondern √25 = 5. Die Produktregel gilt nur für Multiplikation und Division.
- Glatte Wurzeln übersehen. Wer √1,44 von Hand rundet, verpasst leicht, dass 1,2 exakt aufgeht.
Wie genau ist der Wurzelrechner?
Der Wurzelrechner erkennt exakte Ergebnisse zuverlässig, denn er prüft ganzzahlige und endliche dezimale Kandidaten mit Langzahlarithmetik statt nur mit gerundeten Gleitkommazahlen.
Auch sehr große Radikanden werden stellengenau geprüft. Die Kubikwurzel eines perfekten Kubus mit über 90 Stellen erkennt der Rechner exakt, wo reine Float-Rechner längst an Präzisionsgrenzen stoßen.
Irrationale Ergebnisse wie √10 rundet der Rechner auf 10 Nachkommastellen. Nur exakte Ergebnisse erhalten das Kennzeichen "exakt", damit exakte und angenäherte Werte nie verwechselt werden.
