Was ist der Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist eine mathematische Grundregel für rechtwinklige Dreiecke. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen den beiden Katheten und der Hypotenuse.
Die Formel lautet a² + b² = c². Diese drei Buchstaben stehen für feste Größen des rechtwinkligen Dreiecks.
- a und b sind die Katheten, die beiden Seiten am rechten Winkel
- c ist die Hypotenuse, die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel
- γ ist der rechte Winkel selbst und beträgt immer 90°
Wer den Satz des Pythagoras berechnen möchte, ermittelt damit eine der drei Seiten aus den beiden anderen.
Benannt ist der Satz nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte. Der Zusammenhang war jedoch schon früher bekannt. Eine babylonische Tontafel namens Plimpton 322 aus der Zeit um 1800 v. Chr. zeigt bereits passende Zahlentripel.
Wie funktioniert der Pythagoras-Rechner
Unser Pythagoras-Rechner berechnet aus zwei bekannten Werten eines rechtwinkligen Dreiecks automatisch alle übrigen Größen. Sie wählen die gesuchte Seite, geben zwei Werte ein und klicken auf „Pythagoras berechnen".
Eingaben
Für die Pythagoras-Berechnung sind drei Angaben nötig.
- Gesuchte Größe, über drei Buttons wählbar zwischen Hypotenuse c, Kathete a und Kathete b
- Zwei Seitenwerte, deren Beschriftung sich automatisch an den gewählten Modus anpasst, etwa Kathete a und Kathete b im Modus c oder Kathete b und Hypotenuse c im Modus a
- Einheit, wählbar zwischen mm, cm, m und km
Jede Eingabe wird automatisch geprüft. Beide Werte müssen größer als 0 sein. Im Modus für Kathete a oder Kathete b muss die Hypotenuse c zusätzlich größer sein als die bekannte Kathete, sonst erscheint eine Fehlermeldung.
Ergebnisse
Nach einem Klick auf „Pythagoras berechnen" erscheint das Ergebnis in mehreren übersichtlichen Blöcken.
- Eine große Ergebniskarte mit der gesuchten Größe
- Eine maßstabsgerechte Dreieckszeichnung mit allen Seiten, Winkeln und der Höhe
- Die Gruppe Seiten mit Kathete a, Kathete b und Hypotenuse c
- Die Gruppe Winkel mit α, β und dem rechten Winkel γ = 90°
- Die Gruppe Höhe & Hypotenusenabschnitte mit h, p und q
- Die Gruppe Fläche & Umfang mit A und U
Im Bereich „Berechnung" erscheint zusätzlich der vollständige Lösungsweg. Die „Hauptrechnung" leitet die gesuchte Seite über Formel, Einsetzen und Ausrechnen her. „Weitere Werte" listet anschließend Winkel, Höhe, Abschnitte, Fläche und Umfang mit der jeweiligen Formel auf.
Die Pythagoras-Formel
Die Hauptformel des Satzes des Pythagoras beschreibt das Verhältnis der drei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.
a² + b² = c²
Aus dieser Grundform lässt sich jede der drei Seiten direkt aus den beiden anderen berechnen.
c = √(a² + b²) Hypotenuse aus beiden Katheten
a = √(c² − b²) Kathete a aus Hypotenuse und Kathete b
b = √(c² − a²) Kathete b aus Hypotenuse und Kathete a
Es genügt, zwei der drei Seiten zu kennen, um die dritte direkt zu berechnen. Welche der drei Formen zum Einsatz kommt, hängt davon ab, ob die Hypotenuse c oder eine der beiden Katheten a und b gesucht ist. Die passende Form wird dabei automatisch ausgewählt.
Beispiele für die Pythagoras-Berechnung
Anhand konkreter Zahlen lässt sich der Satz des Pythagoras berechnen und der Rechenweg direkt nachvollziehen.
Beispiel 1: Hypotenuse berechnen
Gegeben sind die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Gesucht ist die Hypotenuse c.
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Das Ergebnis 5 cm gehört zum bekannten 3-4-5-Dreieck, dem einfachsten pythagoräischen Tripel.
Beispiel 2: Kathete berechnen
Gegeben sind die Kathete b = 12 cm und die Hypotenuse c = 13 cm. Gesucht ist die Kathete a.
a = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 cm
Die fehlende Kathete a beträgt 5 cm.
Beispiel 3: Leiter an einer Hauswand
Eine Leiter lehnt an einer Hauswand. Das Haus ist 4 m hoch und der Fuß der Leiter steht 3 m von der Wand entfernt.
c = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 m
Die Leiter muss mindestens 5 m lang sein, um die Wand in dieser Höhe zu erreichen. Dieses Beispiel zeigt, wie der Satz des Pythagoras auch bei alltäglichen Aufgaben im Handwerk angewendet wird.
Winkel mit dem Pythagoras-Rechner berechnen
Mit dem Pythagoras-Rechner lassen sich die Winkel im rechtwinkligen Dreieck automatisch aus den eingegebenen Seiten berechnen, und zwar über die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens.
Für den Winkel α gegenüber der Kathete a gilt folgende Beziehung.
α = arctan(a / b) = arcsin(a / c)
β = 90° − α
Sobald α bekannt ist, ergibt sich β direkt aus der Winkelsumme, denn in jedem rechtwinkligen Dreieck addieren sich α und β stets zu 90°. Zusammen mit dem rechten Winkel γ ergeben alle drei Winkel 180°.
Zusätzlich gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Winkeln und den Seiten.
sin(α) = a / c sin(β) = b / c
cos(α) = b / c cos(β) = a / c
tan(α) = a / b tan(β) = b / a
Eine manuelle Anwendung der Umkehrfunktionen ist dafür nicht nötig, da α und β automatisch aus den eingegebenen Seiten ermittelt werden.
Höhe, Hypotenusenabschnitte, Fläche und Umfang beim Satz des Pythagoras
Neben den Seiten und Winkeln liefert der Satz des Pythagoras auch die Grundlage für weitere wichtige Größen am rechtwinkligen Dreieck.
Die Höhe h verläuft vom rechten Winkel senkrecht auf die Hypotenuse und teilt diese in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q.
h = (a · b) / c
p = b² / c
q = a² / c
Zwischen diesen Größen bestehen zwei klassische Sätze der euklidischen Geometrie. Der Höhensatz des Euklid besagt, dass das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte ist.
h² = p · q
Der Kathetensatz des Euklid verbindet jede Kathete mit ihrem eigenen Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse.
a² = c · p
b² = c · q
Aus den Katheten ergeben sich außerdem direkt der Flächeninhalt A und der Umfang U des Dreiecks.
A = (a · b) / 2
U = a + b + c
h, p, q, A und U werden automatisch mitberechnet, sobald Sie die Seiten eingegeben haben.
Da die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks senkrecht zueinander stehen, bilden sie direkt die Grundlinie und die Höhe, sodass Sie damit auch die Fläche in Quadratmetern berechnen können.
Pythagoräische Tripel
Pythagoräische Tripel sind Zahlentripel (a, b, c) aus ganzen Zahlen, die den Satz des Pythagoras exakt erfüllen. Die bekanntesten Beispiele sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
| a | b | c | Prüfung |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Jedes Vielfache eines pythagoräischen Tripels ist ebenfalls ein gültiges Tripel. Aus 3-4-5 entstehen auf diese Weise 6-8-10, 9-12-15 oder 15-20-25.
Jedes dieser Tripel lässt sich direkt als Eingabe verwenden, und der Lösungsweg liefert dieselben Werte zurück.
Wofür wird der Satz des Pythagoras verwendet
Der Satz des Pythagoras wird in vielen praktischen Bereichen verwendet, in denen rechte Winkel oder Diagonalen eine Rolle spielen.
- Bauwesen, etwa um mit der 3-4-5-Methode einen rechten Winkel ohne Winkelmesser abzustecken oder Sparrenlängen bei Dächern zu berechnen
- Navigation, um die direkte Luftlinie zwischen zwei Punkten aus Ost-West- und Nord-Süd-Abstand zu bestimmen
- Technik, etwa zur Berechnung von Bildschirmdiagonalen, wofür sich zusätzlich der Seitenverhältnis-Rechner eignet
- Geodäsie, um Entfernungen und Höhenunterschiede bei Geländevermessungen zu ermitteln
- Handwerk, etwa bei der Berechnung von Kabellängen oder Schrägschnitten
Häufige Fehler bei der Pythagoras-Berechnung
Bei der Pythagoras-Berechnung treten in der Praxis immer wieder dieselben Fehler auf.
- Kathete und Hypotenuse verwechseln, wodurch die Formel falsch umgestellt wird
- Die Wurzel vergessen, sodass nur das Quadrat der Seite als Ergebnis stehen bleibt
- Den Satz auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anwenden, wofür stattdessen der Kosinussatz nötig ist
- Unterschiedliche Einheiten mischen, etwa Meter mit Zentimetern, ohne vorher umzurechnen
- Eine zu kurze Hypotenuse eingeben, obwohl c stets länger sein muss als jede einzelne Kathete
Unser Rechner verhindert den letzten Fehler automatisch durch eine eingebaute Prüfung der eingegebenen Werte.
Wie genau ist der Pythagoras-Rechner
Unser Pythagoras-Rechner rechnet intern mit voller Gleitkommagenauigkeit und zeigt das Ergebnis gerundet auf 5 Nachkommastellen an.
Diese Genauigkeit reicht für nahezu alle praktischen Anwendungen aus, von schulischen Aufgaben bis zu handwerklichen Maßangaben. Die Zeichnung des Dreiecks ist zudem maßstabsgerecht, sodass die Proportionen von Katheten, Hypotenuse und Höhe optisch korrekt wiedergegeben werden.
Bei sehr kleinen oder sehr großen Eingabewerten skaliert die Zeichnung automatisch auf die eingegebenen Zahlen, sodass die Proportionen unabhängig von der gewählten Einheit stets sichtbar bleiben.
Wissenschaftliche Grundlagen des Satzes des Pythagoras
Die wissenschaftlichen Grundlagen des Satzes des Pythagoras reichen weit vor die Zeit des griechischen Mathematikers zurück, nach dem der Satz benannt ist.
- Plimpton 322, eine babylonische Tontafel aus der Zeit um 1800 v. Chr., enthält bereits Listen passender Zahlentripel
- Die altindischen Sulbasutras zeigen frühe Anwendungen des Zusammenhangs für den Bau von Altären
- Euklid liefert in seinem Werk Elemente, Buch I, Satz 47, den ersten überlieferten formalen Beweis, bis heute Grundlage der euklidischen Geometrie
- Mittlerweile sind weit über 360 verschiedene Beweise bekannt, gesammelt unter anderem im Werk des Mathematikers Elisha Scott Loomis
Diese Vielzahl zeigt, wie zentral der Satz für unterschiedliche Bereiche der Mathematik ist, von der elementaren Geometrie bis zur Algebra.
Alternative Methoden zur Pythagoras-Berechnung
Neben der klassischen Formel gibt es weitere Wege, um Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen.
- Trigonometrische Methode, wenn statt einer zweiten Seite ein Winkel bekannt ist, über Sinus, Kosinus oder Tangens, ohne den Satz des Pythagoras direkt zu verwenden
- Höhensatz und Kathetensatz, wenn die Höhe h oder die Hypotenusenabschnitte p und q bekannt sind, oft mit weniger Rechenschritten
In der Koordinatengeometrie verallgemeinert sich der Satz des Pythagoras zudem zur Abstandsformel, mit der sich die Entfernung zwischen zwei Punkten berechnen lässt.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Diese Formel wird beispielsweise in der Navigation und in der Computergrafik verwendet.