Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten man eine Basis potenzieren muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Die Schreibweise log_b(x) = y bedeutet also b^y = x.
Ein Beispiel macht das Prinzip klar. log₂(8) = 3, denn 2³ = 8. Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist der Exponent 3.
Die Zahl x heißt Numerus (auch Logarithmand), b ist die Basis und y der Logarithmuswert. Das Logarithmieren ist damit die Umkehrung des Potenzierens, das Sie mit unserem Potenzrechner durchführen. Die formale Definition mit allen Eigenschaften erklärt Wikipedia im Detail.
Wie funktioniert der Logarithmus-Rechner?
Der Logarithmus-Rechner funktioniert in zwei Schritten. Sie tragen Numerus und Basis ein und starten die Berechnung mit einem Klick auf "Logarithmus berechnen".
Eingaben
Die Eingabefelder sind wie die mathematische Schreibweise log_b(x) angeordnet, mit tiefgestelltem Basisfeld und großem Numerusfeld.
- Basis (b). Die Grundzahl des Logarithmus. Für den natürlichen Logarithmus geben Sie einfach den Buchstaben e ein, auch die Kreiszahl pi wird erkannt.
- Numerus (x). Die Zahl, deren Logarithmus gesucht ist. Erlaubt sind alle positiven Zahlen, auch Kommazahlen sowie die Konstanten e und pi. So bestätigt der Rechner zum Beispiel ln(e) = 1 exakt.
Die drei häufigsten Basen wählen Sie per Schnellwahl mit einem Klick, nämlich Basis 2 (lb), Basis e (ln) und Basis 10 (lg). Als Dezimaltrennzeichen akzeptiert der Rechner Komma und Punkt gleichermaßen.
Ergebnisse
Als Ergebnis zeigt der Logarithmus-Rechner den Logarithmuswert y an. Eine Probe-Zeile macht das Ergebnis sofort nachvollziehbar, zum Beispiel "da 2³ = 8".
Bei glatten Werten erkennt der Rechner das exakte Ergebnis. log₄(16) zeigt er als exakt 2 an und nicht als gerundete Dezimalzahl wie 2,0000000000.
Zusätzlich sehen Sie denselben Numerus in den drei Standard-Basen, also lb, ln und lg auf einen Blick. So vergleichen Sie die Werte, ohne neu zu rechnen.
Die Logarithmus-Formel
Die Logarithmus-Formel lautet y = log_b(x) und ist über die Potenzgleichung b^y = x definiert. Für die Berechnung mit beliebiger Basis nutzt man den Basiswechselsatz.
log_b(x) = log(x) / log(b)
Beispiele:
log_2(8) = log(8) / log(2) = 3
log_10(1.000) = 3
log_3(5) = log(5) / log(3) = 1,464974
Dabei gelten zwei Einschränkungen. Der Numerus x muss größer als 0 sein und die Basis b muss positiv und ungleich 1 sein.
Zwei Sonderfälle sind immer exakt. log_b(1) = 0 für jede Basis, denn b⁰ = 1. Und log_b(b) = 1, denn b¹ = b.
Die drei wichtigsten Logarithmen
In der Praxis dominieren drei Basen, die eigene Kurzschreibweisen haben. Unser Logarithmus-Rechner bietet für alle drei eine Schnellwahl.
- Zehnerlogarithmus lg. Basis 10, geschrieben lg(x) oder log₁₀(x). Er zählt Größenordnungen und steckt hinter pH-Wert, Dezibel und Richterskala.
- Natürlicher Logarithmus ln. Basis e ≈ 2,71828 (Eulersche Zahl), geschrieben ln(x). Er beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse.
- Zweierlogarithmus lb. Basis 2, geschrieben lb(x), ld(x) oder log₂(x). Er ist die Standardgröße der Informatik, etwa bei Speichergrößen und Suchalgorithmen.
Auf vielen Taschenrechnern steht die Taste log für den Zehnerlogarithmus und ln für den natürlichen Logarithmus. Andere Basen erreichen Sie dort nur über den Basiswechselsatz, unser Rechner nimmt Ihnen diesen Umweg ab.
Die wichtigsten Logarithmusgesetze
Die Logarithmusgesetze machen aus Produkten Summen und aus Potenzen Faktoren. Die vier wichtigsten Regeln im Überblick.
Produktregel: log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y)
Quotientenregel: log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)
Potenzregel: log_b(x^n) = n · log_b(x)
Kehrwertregel: log_b(1 / x) = -log_b(x)
Basiswechsel: log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)
Ein Beispiel zur Produktregel. lg(100 · 1.000) = lg(100) + lg(1.000) = 2 + 3 = 5, und tatsächlich ist lg(100.000) = 5.
Die Potenzregel verbindet Logarithmen direkt mit der Potenzrechnung. Aus lg(10⁴) wird 4 · lg(10) = 4.
Die Kehrwertregel erklärt negative Logarithmuswerte. So ist lg(0,001) = -lg(1.000) = -3, denn 0,001 ist der Kehrwert von 1.000.
Tabelle häufiger Logarithmuswerte
Die folgende Tabelle zeigt den Zehnerlogarithmus und den natürlichen Logarithmus für häufige Numeri. Alle Werte lassen sich mit dem Logarithmus-Rechner nachprüfen.
| Numerus x | lg(x) | ln(x) |
|---|---|---|
| 0,001 | -3 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -4,60517 |
| 0,1 | -1 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0,30103 | 0,693147 |
| 5 | 0,69897 | 1,609438 |
| 10 | 1 | 2,302585 |
| 100 | 2 | 4,60517 |
| 1.000 | 3 | 6,907755 |
| 10.000 | 4 | 9,21034 |
An der Tabelle lässt sich das logarithmische Prinzip direkt ablesen. Während der Numerus von 1 auf 10.000 um den Faktor 10.000 wächst, steigt der Zehnerlogarithmus nur von 0 auf 4.
Beispiele für die Logarithmus-Berechnung
Die folgenden Beispiele zeigen Schritt für Schritt, wie man einen Logarithmus berechnen kann. Jedes Beispiel steht für einen typischen Anwendungsfall.
1. Beispiel mit glattem Ergebnis
Gesucht ist log₂(1.024), also die Frage, wie oft man 2 mit sich selbst multiplizieren muss, um 1.024 zu erhalten.
Schritt 1: Frage umformulieren 2^y = 1.024
Schritt 2: Zweierpotenzen bilden 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024
Schritt 3: Schritte zählen 1.024 ist die 10. Zweierpotenz
log_2(1.024) = 10
Die Probe bestätigt das Ergebnis, denn 2¹⁰ = 1.024. Der Rechner erkennt den glatten Wert und zeigt exakt 10 an.
2. Beispiel mit natürlichem Logarithmus
Gesucht ist ln(5), der natürliche Logarithmus von 5. Als Basis geben Sie den Buchstaben e ein oder nutzen die Schnellwahl.
Schritt 1: Gleichung aufstellen e^y = 5
Schritt 2: Eingrenzen e^1 = 2,718282 (zu klein)
e^2 = 7,389056 (zu groß)
Schritt 3: Berechnen ln(5) = 1,609438
Probe: e^1,609438 = 5
Das Ergebnis liegt wie erwartet zwischen 1 und 2. Es ist irrational, der Rechner rundet deshalb auf 6 Nachkommastellen.
3. Beispiel mit beliebiger Basis
Gesucht ist log₃(5). Ein Taschenrechner ohne freie Basiswahl braucht dafür den Basiswechselsatz mit der log-Taste.
Schritt 1: Basiswechselsatz log_3(5) = lg(5) / lg(3)
Schritt 2: Beide Werte ablesen lg(5) = 0,69897
lg(3) = 0,477121
Schritt 3: Dividieren 0,69897 / 0,477121 = 1,464974
log_3(5) = 1,464974
Die Probe bestätigt die Größenordnung, denn 3¹ = 3 und 3² = 9, der Wert muss also zwischen 1 und 2 liegen. Unser Logarithmus-Rechner nimmt Ihnen alle drei Schritte ab.
4. Beispiel mit negativem Ergebnis
Gesucht ist lg(0,001), der Zehnerlogarithmus einer Zahl kleiner 1.
Schritt 1: Kehrwert erkennen 0,001 = 1 / 1.000
Schritt 2: Kehrwertregel anwenden lg(0,001) = -lg(1.000)
Schritt 3: Berechnen lg(1.000) = 3, also lg(0,001) = -3
Probe: 10^-3 = 0,001
Numeri zwischen 0 und 1 ergeben immer einen negativen Logarithmus. Der Rechner zeigt auch diesen Wert als exakt -3 an.
Woher kommt die Eulersche Zahl e?
Die Eulersche Zahl e ≈ 2,718281 entsteht aus dem Grenzwert des Ausdrucks (1 + 1/m)^m für immer größere Werte von m. Sie ist die natürliche Basis für Wachstumsprozesse und damit die Grundlage des natürlichen Logarithmus.
Anschaulich wird das beim Zinseszins. Wird ein Kapital bei 100 % Jahreszins immer häufiger verzinst, wächst der Jahresfaktor nicht ins Unendliche, sondern nähert sich e.
- m = 1 (jährlich) ergibt den Faktor 2
- m = 12 (monatlich) ergibt den Faktor 2,613035
- m = 1.000 ergibt den Faktor 2,716924
- m = 1.000.000 ergibt den Faktor 2,718280
Benannt ist die Konstante nach Leonhard Euler, der ihren Wert im Jahr 1731 definierte. In unserem Logarithmus-Rechner geben Sie für die Basis einfach den Buchstaben e ein.
Die Geschichte des Logarithmus
Das ausgearbeitete Konzept des Logarithmus veröffentlichte der schottische Mathematiker John Napier im Jahr 1614 in seinem Werk Mirifici logarithmorum canonis descriptio, dem Ergebnis von 20 Jahren Forschung. Das Wort Logarithmus setzt sich aus den griechischen Begriffen logos (Verhältnis) und arithmos (Zahl) zusammen.
Henry Briggs entwickelte die Idee weiter und stellte 1617 die ersten Logarithmentafeln zur Basis 10 vor. Diese Tafeln verwandelten mühsame Multiplikationen in einfache Additionen und beschleunigten die Arbeit von Astronomen wie Johannes Kepler erheblich.
Auf demselben Prinzip beruhte der Rechenschieber, der ab etwa 1622 bis in die 1970er Jahre das Standard-Rechenwerkzeug von Ingenieuren und Wissenschaftlern war. Erst Taschenrechner und Computer lösten ihn ab, heute genügt ein Logarithmus-Rechner im Browser.
Wo braucht man Logarithmen im Alltag?
Logarithmen stecken überall dort, wo Größen über viele Größenordnungen verglichen werden. Vier Beispiele zeigen die praktische Bedeutung.
- Chemie. Der pH-Wert ist der negative Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration. Eine Änderung um 1 bedeutet den Faktor 10.
- Akustik. Die Lautstärke in Dezibel ist logarithmisch skaliert. 20 dB mehr entsprechen der zehnfachen Schallamplitude.
- Finanzen. Die Verdopplungszeit eines Kapitals ist ein Logarithmus, denn t = ln(2) / ln(1 + p/100). Bei 3 % Zins dauert die Verdopplung rund 23,4 Jahre, den kompletten Sparverlauf dazu berechnen Sie mit dem Zinsrechner.
- Informatik. Die binäre Suche in 1.048.576 sortierten Einträgen braucht höchstens lb(1.048.576) = 20 Schritte.
Vorteile des Logarithmus-Rechners
Unser Logarithmus-Rechner bietet gegenüber Taschenrechner und anderen Online-Tools mehrere Vorteile.
- Beliebige Basis. Neben lg, ln und lb rechnen Sie mit jeder positiven Basis, ohne den Basiswechselsatz von Hand anzuwenden.
- Exakte glatte Werte. Ergebnisse wie log₄(16) = 2 erkennt der Rechner exakt, statt eine gerundete Dezimalzahl auszugeben.
- Probe inklusive. Die Zeile "da b^y = x" macht jedes Ergebnis sofort überprüfbar.
- Drei Basen auf einen Blick. Zu jedem Numerus zeigt der Rechner zusätzlich lb, ln und lg, ganz ohne Neueingabe.
Häufige Fehler bei der Logarithmus-Berechnung
Bei der Logarithmus-Berechnung treten immer wieder dieselben Fehler auf. Vier Stolperfallen sollten Sie kennen.
- Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen suchen. log_b(x) ist nur für x > 0 definiert, denn keine Potenz einer positiven Basis ergibt 0 oder eine negative Zahl.
- log(x + y) mit log(x) + log(y) verwechseln. Die Produktregel gilt für Produkte, nicht für Summen. lg(10 + 90) = 2, aber lg(10) + lg(90) ≈ 2,954.
- Die Basis der log-Taste falsch annehmen. Auf Taschenrechnern bedeutet log meist Basis 10, in vielen Programmiersprachen dagegen den natürlichen Logarithmus.
- Basis 1 verwenden. 1 hoch jede Zahl bleibt 1, deshalb ist die Basis 1 nicht erlaubt.
Wie genau ist der Logarithmus-Rechner?
Unser Logarithmus-Rechner erkennt ganzzahlige Ergebnisse exakt, denn er prüft glatte Potenzen mit Langzahlarithmetik statt nur mit gerundeten Gleitkommazahlen.
log₁₀(1.000.000.000.000.000) ergibt deshalb exakt 15, wo reine Float-Rechner wegen Rundungsfehlern Werte wie 14,999999999999998 anzeigen können.
Die Exakt-Erkennung funktioniert auch mit Dezimalzahlen als Basis oder Numerus. So zeigt der Rechner log₂(0,125) = -3 und den Logarithmus von 8 zur Basis 0,5 als exakt -3 an.
Irrationale Ergebnisse wie ln(5) rundet der Rechner auf 6 Nachkommastellen. Sehr kleine Werte zeigt er mit 6 signifikanten Stellen an, damit keine Information verloren geht.