Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Der Ausdruck bˣ besteht aus der Basis b (Grundzahl) und dem Exponenten x (Hochzahl).
Der Exponent steht als kleine Zahl rechts oben an der Basis. Er gibt an, wie oft die Basis als Faktor auftritt. So bedeutet 5² = 5 · 5 = 25 und 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.
Wer eine Potenz von Hand berechnen möchte, folgt einem festen Ablauf.
- Basis und Exponent bestimmen, zum Beispiel 3⁵.
- Die Basis so oft aufschreiben, wie der Exponent angibt.
- Zwischen alle Faktoren ein Malzeichen setzen.
- Ausmultiplizieren, also 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
Bei kleinen Zahlen gelingt die Potenzrechnung im Kopf. Sobald die Basis groß ist, eine Kommazahl vorliegt oder der Exponent negativ wird, übernimmt der Potenzrechner die Arbeit. Die formale Definition der Potenz erklärt Wikipedia im Detail.
Wie funktioniert der Potenzrechner?
Der Potenzrechner funktioniert in zwei Schritten. Sie tragen die beiden Werte in die Eingabefelder ein und starten die Berechnung mit einem Klick auf "Potenz berechnen".
Eingaben
Die Eingabefelder sind wie die mathematische Potenzschreibweise bˣ angeordnet, mit großem Basisfeld und hochgestelltem Exponentenfeld.
- Basis (b). Die Grundzahl, die potenziert wird. Erlaubt sind ganze Zahlen, Kommazahlen und negative Werte.
- Exponent (x). Die Hochzahl. Auch negative und rationale Exponenten wie -4 oder 0,5 sind möglich.
Als Dezimaltrennzeichen akzeptiert der Rechner Komma und Punkt gleichermaßen. Auch Eingaben mit Tausenderpunkten wie 1.234,5 liest er korrekt als 1234,5.
Ergebnisse
Als Ergebnis zeigt der Potenzrechner den Wert der Potenz direkt als Dezimalzahl an. Aus 2⁻⁴ wird also sofort 0,0625 und nicht nur ein Bruch.
Sehr große Ergebnisse erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise als Zehnerpotenz, zum Beispiel 1,0715 × 10³⁰¹ für 2¹⁰⁰⁰. Den exakten Wert in voller Länge blenden Sie per Klick ein und kopieren ihn bei Bedarf in die Zwischenablage.
Nicht definierte Ausdrücke wie 0 hoch ein negativer Exponent erklärt der Rechner verständlich, statt einen falschen Wert anzuzeigen.
Die Potenz-Formel
Die Potenz-Formel lautet a = bˣ. Für ganzzahlige positive Exponenten entspricht sie einer wiederholten Multiplikation.
b^x = b · b · b · … · b (x Faktoren)
Beispiele:
2^3 = 2 · 2 · 2 = 8
5^2 = 5 · 5 = 25
10^4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
Daneben gelten drei Sonderfälle, die der Rechner automatisch berücksichtigt.
- Exponent 0. Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1, also 7⁰ = 1.
- Exponent 1. Jede Zahl hoch 1 ergibt sich selbst, also b¹ = b.
- Negativer Exponent. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert, also b⁻ˣ = 1 / bˣ.
Die wichtigsten Regeln der Potenzrechnung
Die Potenzrechnung folgt festen Potenzgesetzen, die das Rechnen mit Potenzen erheblich vereinfachen. Die sechs wichtigsten Regeln im Überblick.
Gleiche Basis, Multiplikation: b^n · b^m = b^(n+m)
Gleiche Basis, Division: b^n / b^m = b^(n-m)
Potenz einer Potenz: (b^n)^m = b^(n·m)
Gleicher Exponent, Produkt: a^n · b^n = (a · b)^n
Gleicher Exponent, Quotient: a^n / b^n = (a / b)^n
Negativer Exponent: b^(-n) = 1 / b^n
Ein Beispiel zur ersten Regel. 2² · 2⁴ = 2⁶ = 64. Statt beide Potenzen einzeln zu berechnen, addieren Sie die Exponenten.
Die Verteilungsregel funktioniert auch mit Brüchen als Basis. So ist (2/5)² = 2²/5² = 4/25. Solche Bruchrechnungen prüfen Sie bequem mit unserem Bruchrechner nach.
Bei der Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Aus (2²)⁴ wird 2⁸ = 256.
Potenzen mit negativem Exponenten
Ein negativer Exponent kehrt die Basis um. Es gilt b⁻ˣ = 1 / bˣ, das Ergebnis ist also der Kehrwert der positiven Potenz.
Ein Rechenbeispiel zeigt das Prinzip. 5⁻⁴ = 1 / 5⁴ = 1 / 625 = 0,0016. Das Ergebnis ist positiv und liegt zwischen 0 und 1.
Diese Definition ist kein Zufall. Nur mit ihr bleibt das Divisionsgesetz der Potenzrechnung gültig, denn 5⁴ · 5⁻⁴ = 5⁰ = 1 funktioniert nur, wenn 5⁻⁴ der Kehrwert von 5⁴ ist.
Der Potenzrechner zeigt bei negativen Exponenten direkt die Dezimalzahl an. Aus 2⁻³ wird also 0,125 statt nur 1/8.
Potenzen mit negativer Basis
Bei einer negativen Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen des Ergebnisses. Gerade Exponenten liefern ein positives, ungerade ein negatives Ergebnis.
(-2)^2 = (-2) · (-2) = 4
(-2)^3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8
Die Klammern sind entscheidend. (-2)⁴ = 16, aber -2⁴ = -16, denn ohne Klammern bezieht sich der Exponent nur auf die 2. In unserem Rechner geben Sie die negative Basis einfach mit Minuszeichen ein, sie wird wie geklammert behandelt.
Mit einem nicht ganzzahligen Exponenten wie (-4) hoch 0,5 existiert im Reellen kein Ergebnis, denn das entspräche der Wurzel aus einer negativen Zahl. Andere Rechner geben hier "NAN" aus. Unser Rechner erklärt den Fall mit einer verständlichen Meldung.
Rationale Exponenten und Wurzeln
Ein Bruch im Exponenten entspricht einer Wurzel. Für einen Exponenten der Form 1/n wird aus der Basis die n-te Wurzel gezogen.
b^(1/n) = n-te Wurzel aus b
9^0,5 = √9 = 3
8^(1/3) = ³√8 = 2
Im Potenzrechner geben Sie rationale Exponenten als Dezimalzahl ein, also 0,5 für die Quadratwurzel oder 0,25 für die vierte Wurzel. Quadrieren und Wurzelziehen sind dabei Umkehroperationen, denn 6² = 36 und √36 = 6.
Beispiele für die Potenzrechnung
Die folgenden Beispiele zeigen typische Anwendungsfälle der Potenzrechnung.
1. Beispiel mit einer Zweierpotenz
Gesucht ist 2¹⁰.
2^10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1.024
Das Ergebnis 1.024 kennen viele aus der Informatik, denn ein Kibibyte entspricht 1.024 Byte.
2. Beispiel mit negativem Exponenten
Gesucht ist 2⁻⁴.
2^-4 = 1 / 2^4 = 1 / 16 = 0,0625
Der Rechner zeigt das Ergebnis direkt als Dezimalzahl 0,0625 an.
3. Beispiel mit einer Kommazahl als Basis
Gesucht ist 1,024².
1,024^2 = 1,024 · 1,024 = 1,048576
Der Potenzrechner rechnet hier stellengenau und liefert das exakte Ergebnis 1,048576 ohne Rundung.
Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Schreibweise
Zehnerpotenzen sind die Grundlage der wissenschaftlichen Schreibweise, mit der sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt dargestellt werden. Der Potenzrechner nutzt diese Notation automatisch bei extremen Ergebnissen.
10^3 = 1.000
10^6 = 1.000.000 (eine Million)
10^-3 = 0,001 (ein Tausendstel)
Die wissenschaftliche Schreibweise besteht aus einer Mantisse zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz. Aus dem exakten Wert von 2¹⁰⁰ mit 31 Stellen wird so übersichtlich 1,2677 × 10³⁰.
Wo braucht man die Potenzrechnung im Alltag?
Die Potenzrechnung begegnet Ihnen häufiger, als es zunächst scheint. Vier Bereiche zeigen die praktische Bedeutung.
- Zinseszins. Ein Kapital wächst über n Jahre mit dem Faktor (1 + p/100)ⁿ. Konkrete Werte für Ihr Erspartes liefert der Zinsrechner.
- Biologie. Bakterien vermehren sich durch Zellteilung exponentiell. E. coli verdoppelt sich unter optimalen Bedingungen etwa alle 20 Minuten, aus einer Zelle werden so in 10 Stunden rechnerisch 2³⁰ = 1.073.741.824 Zellen.
- Informatik. Speichergrößen und Adressräume basieren auf Zweierpotenzen wie 2¹⁰, 2²⁰ und 2³².
- Geometrie. Flächen sind Längen hoch 2, Volumen Längen hoch 3. Praktisch berechnen Sie beides mit dem Quadratmeter-Rechner und dem Kubikmeter-Rechner.
Vorteile des Potenzrechners
Unser Potenzrechner bietet gegenüber Taschenrechner und anderen Online-Tools mehrere Vorteile.
- Exakte Ergebnisse ohne Rundung. Bei ganzzahligen Eingaben rechnet der Rechner stellengenau, auch 2¹⁰⁰⁰ mit über 300 Stellen. Kommazahl-Basen wie 1,024² werden ebenfalls exakt berechnet.
- Korrekt auch im Extremfall. Bei winzigen Ergebnissen wie 10⁻¹⁰⁰⁰ zeigen viele Rechner fälschlich 0 an, bei riesigen nur "Unendlich". Unser Rechner liefert den korrekten Wert als Zehnerpotenz samt Erklärung.
- Flexible Eingabe. Komma und Punkt funktionieren beide als Dezimaltrennzeichen, Tausenderpunkte werden erkannt. Viele englischsprachige Rechner lehnen das deutsche Komma komplett ab.
- Verständliche Sonderfälle. Ausdrücke wie 0⁰ oder 0 hoch negativ erklärt der Rechner, statt "NAN" oder einen falschen Wert auszugeben.
- Kostenlos und anonym. Die Berechnung läuft direkt im Browser, ohne Anmeldung und ohne Datenübertragung.
Häufige Fehler bei der Potenzrechnung
Bei der Potenzrechnung treten immer wieder dieselben Fehler auf. Fünf Stolperfallen sollten Sie kennen.
- Basis und Exponent multiplizieren. 2³ ist nicht 2 · 3 = 6, sondern 2 · 2 · 2 = 8.
- Vorzeichen ohne Klammern falsch deuten. (-2)⁴ = 16, aber -2⁴ = -16.
- Negativen Exponenten als negatives Ergebnis lesen. 2⁻³ ist nicht -8, sondern 0,125.
- Potenzen bei Addition zusammenfassen. 2³ + 2⁴ ist nicht 2⁷, die Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division.
- b⁰ = 0 annehmen. Jede Zahl außer 0 hoch 0 ergibt 1.
Wie genau ist der Potenzrechner?
Unser Potenzrechner liefert bei ganzzahligen Basen und Exponenten mathematisch exakte Ergebnisse, denn er rechnet intern mit Langzahlarithmetik statt mit gerundeten Gleitkommazahlen.
Auch sehr lange Basen wie 123456789012345678 werden zifferngenau potenziert. Herkömmliche Rechner runden solche Eingaben bereits beim Einlesen auf etwa 15 bis 16 signifikante Stellen.
Bei irrationalen Ergebnissen wie 13 hoch 7,5 rundet der Rechner auf 4 Nachkommastellen. Sehr kleine Werte zeigt er mit 5 signifikanten Stellen an, damit keine Information verloren geht.