Wie berechnet man ein Dreieck?
Man berechnet ein Dreieck, indem man aus drei bekannten Werten, etwa drei Seiten oder zwei Seiten und einem Winkel, alle übrigen Seiten, Winkel und Kennzahlen herleitet. Da ein Dreieck durch genau drei unabhängige Angaben eindeutig festgelegt ist, reichen diese drei Werte aus, um Fläche, Umfang, Höhen und Radien vollständig zu bestimmen.
Der Dreieck-Rechner oben übernimmt diese Berechnung automatisch. Sie füllen einfach drei beliebige der sechs Felder für Seiten und Winkel aus, der Rechner erkennt selbstständig, welche Methode zutrifft, und berechnet alle fehlenden Seiten und Winkel, eine maßstabsgetreue Skizze sowie den vollständigen Rechenweg.
Welche Angaben legen ein Dreieck eindeutig fest?
Ein Dreieck ist eindeutig festgelegt, wenn eine der folgenden Kombinationen aus Seiten und Winkeln bekannt ist. Diese Kombinationen werden als Kongruenzsätze bezeichnet.
- SSS, drei Seiten
- SWS, zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel
- WSW, eine Seite und die beiden anliegenden Winkel
- WWS, eine Seite und zwei Winkel, wobei die Seite einem der beiden Winkel gegenüberliegt
- SsW, zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren Seite
WSW und WWS sind dabei zwei Varianten desselben Grundfalls "eine Seite plus zwei Winkel": Bei WSW liegt die bekannte Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln, bei WWS liegt sie einem davon gegenüber. Rechnerisch führen beide über den Sinussatz zum selben eindeutigen Ergebnis, der Rechner oben unterscheidet die beiden Varianten lediglich im angezeigten Status.
Bei der Kombination SsW kann es zu zwei unterschiedlichen, aber gültigen Dreiecken kommen. Der Rechner oben erkennt diesen Fall automatisch und zeigt dann beide möglichen Lösungen an.
Wie funktioniert der Dreieck-Rechner?
Der Rechner löst das Dreieck vollständig und berechnet daraus einheitlich alle weiteren Kennzahlen, unabhängig davon, welche drei Werte ursprünglich eingegeben wurden.
Eingaben
- Drei beliebige Werte, aus insgesamt sechs Feldern für Seiten und Winkel, der Rest bleibt leer
- Seiten, wahlweise in mm, cm, m, km oder mi
- Winkel, jeweils in Grad
- Nachkommastellen, wahlweise 0 bis 6, für die gewünschte Genauigkeit der Ergebnisse
Ergebnis
- Der Status, welche Methode (SSS, SWS, WSW, WWS oder SsW) automatisch erkannt wurde
- Alle drei Seiten und alle drei Winkel
- Der Flächeninhalt und der Umfang
- Die drei Höhen, der Umkreisradius und der Inkreisradius
- Die drei Seitenhalbierenden, jeweils einzeln per Klick kopierbar
- Eine maßstabsgetreue Skizze des berechneten Dreiecks
- Der vollständige Rechenweg mit Formel und Zwischenschritten
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich am universellsten mit dem Satz des Heron, sobald alle drei Seiten bekannt sind. Der Rechner oben löst dafür zunächst die fehlenden Seiten und wendet anschließend einheitlich diese Formel an.
s = (a + b + c) / 2
A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c))
Bei den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 6 cm ergibt sich:
s = (4 + 6 + 6) / 2 = 8 cm
A = √(8 · 4 · 2 · 2) = 11,31 cm²
Alternativ lässt sich die Fläche bei bekannter Grundseite und Höhe auch direkt über A = (g · h) / 2 berechnen, oder bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel über A = (1/2) · a · b · sin γ.
Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?
Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen, nach der einfachen Formel u = a + b + c. Bei den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm beträgt der Umfang somit 18 cm, unabhängig von den Winkeln des Dreiecks.
Der Rechner oben zeigt den Umfang automatisch zusammen mit dem Flächeninhalt an, sobald alle drei Seiten aus den eingegebenen Werten ermittelt wurden.
Wie berechnet man die Winkel eines Dreiecks aus den Seiten?
Die Winkel eines Dreiecks lassen sich aus drei bekannten Seiten mit dem Kosinussatz berechnen, einer Erweiterung des Satzes des Pythagoras für beliebige Dreiecke.
α = arccos((b² + c² − a²) / (2 · b · c))
β = arccos((a² + c² − b²) / (2 · a · c))
γ = 180° − α − β
Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck immer genau 180° beträgt, genügt es, zwei Winkel über den Kosinussatz zu berechnen und den dritten durch Subtraktion von 180° zu bestimmen.
Was ist der Sinussatz?
Der Sinussatz beschreibt das feste Verhältnis zwischen einer Seite und dem Sinus des ihr gegenüberliegenden Winkels, das in jedem Dreieck für alle drei Seiten gleich groß ist.
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Der Dreieck-Rechner oben nutzt den Sinussatz bei den Eingabekombinationen WSW, WWS und SsW, um aus einer bekannten Seite und bekannten Winkeln die übrigen Seiten zu berechnen.
Beispiel zur Berechnung mit einer Seite und zwei Winkeln
Bei den Winkeln α = 50°, β = 60° und der dazwischenliegenden Seite c = 10 cm ergibt sich zunächst der dritte Winkel γ = 180° − 50° − 60° = 70°. Über den Sinussatz folgen daraus die beiden fehlenden Seiten:
a = 10 × sin 50° / sin 70° = 8,15 cm
b = 10 × sin 60° / sin 70° = 9,22 cm
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks beträgt anschließend rund 35,30 cm², berechnet über den Satz des Heron aus den nun vollständig bekannten drei Seiten.
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und gilt ausschließlich, wenn einer der Innenwinkel genau 90° beträgt.
a² + b² = c²
Dabei ist c stets die Hypotenuse, also die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel, während a und b die beiden Katheten sind. Der Kosinussatz, den der Rechner oben bei den übrigen Eingabekombinationen verwendet, ist eine Verallgemeinerung dieses Satzes auf beliebige, nicht notwendigerweise rechtwinklige Dreiecke.
Wie unterscheiden sich Höhe, Umkreisradius und Inkreisradius?
Die Höhe eines Dreiecks ist die senkrechte Strecke von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite, während der Umkreisradius und der Inkreisradius Eigenschaften des gesamten Dreiecks beschreiben.
- Höhe (h), verläuft senkrecht von einer Ecke zur Gegenseite, berechnet über h = 2A / Seite
- Umkreisradius (R), der Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte, berechnet über R = (a · b · c) / (4A)
- Inkreisradius (r), der Radius des größten Kreises innerhalb des Dreiecks, berechnet über r = A / s
Jedes Dreieck besitzt genau drei Höhen, aber nur einen Umkreis und einen Inkreis, da diese beiden Kreise für das gesamte Dreieck eindeutig bestimmt sind.
Wie erkennt man ein rechtwinkliges Dreieck?
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn einer seiner drei Innenwinkel genau 90° beträgt. Bei bekannten Katheten a und b lässt sich die Hypotenuse c direkt über den Satz des Pythagoras berechnen.
c = √(a² + b²)
Zusätzlich gelten im rechtwinkligen Dreieck der Kathetensatz und der Höhensatz, die die Hypotenusenabschnitte p und q mit den Katheten und der Höhe h_c auf die Hypotenuse verknüpfen.
- Kathetensatz, a² = c · q und b² = c · p
- Höhensatz, h_c² = p · q
Der Rechner oben berechnet ein rechtwinkliges Dreieck, indem Sie die beiden Katheten sowie den rechten Winkel von 90° dazwischen eingeben, also die klassische SWS-Kombination. Ebenso erkennt er automatisch, ob ein mit anderen Werten berechnetes Dreieck zufällig rechtwinklig ist.
Welche Dreiecksarten gibt es?
Dreiecke lassen sich nach ihren Seiten und nach ihren Winkeln unterscheiden. Beide Einteilungen sind unabhängig voneinander und beschreiben unterschiedliche Eigenschaften desselben Dreiecks.
- Gleichseitiges Dreieck, alle drei Seiten und alle drei Winkel sind gleich groß, jeweils 60°
- Gleichschenkliges Dreieck, zwei Seiten und die ihnen gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß
- Unregelmäßiges (skalenes) Dreieck, alle drei Seiten sind unterschiedlich lang
- Spitzwinkliges Dreieck, alle drei Winkel sind kleiner als 90°
- Rechtwinkliges Dreieck, ein Winkel beträgt genau 90°
- Stumpfwinkliges Dreieck, ein Winkel ist größer als 90°
Anhand der berechneten Seiten und Winkel im Ergebnis lässt sich jede dieser Einteilungen direkt ablesen, ohne dass eine gesonderte Klassifizierung nötig ist.
Wie berechnet man ein gleichschenkliges Dreieck?
Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleich langen Schenkeln und einer Basis lässt sich über die Eingabekombination SSS berechnen, indem man beide Schenkel und die Basis als drei Seiten einträgt. Bei zwei Schenkeln von je 7 cm und einer Basis von 5 cm ergibt sich:
Fläche A ≈ 16,35 cm²
Winkel an der Spitze ≈ 41,85°
Winkel an der Basis ≈ 69,08° (jeweils)
Die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind dabei stets exakt gleich groß, da sie den beiden gleich langen Schenkeln gegenüberliegen.
Was bedeutet die Mehrdeutigkeit beim SsW-Fall?
Bei der Eingabe von zwei Seiten und dem Winkel gegenüber der kürzeren der beiden Seiten kann es zwei unterschiedliche, aber beide geometrisch gültige Dreiecke geben. Dieser Fall wird als Ambiguous Case oder Mehrdeutigkeitsfall bezeichnet.
Der Grund liegt darin, dass der Sinussatz für den gesuchten Winkel zwei mögliche Lösungen liefert, einen spitzen und einen stumpfen Winkel, die beide zur gleichen Sinuswert passen. Nur wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt, ist die Lösung automatisch eindeutig. Der Rechner oben prüft diese Bedingung automatisch und zeigt bei Mehrdeutigkeit beide Lösungen gleichzeitig an.
Welche besonderen Punkte hat ein Dreieck?
Jedes Dreieck besitzt vier besondere Punkte, die sich aus seinen Seiten, Winkeln und Höhen ergeben und die der Rechner oben teilweise direkt mit berechnet.
- Schwerpunkt, der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, teilt jede davon im Verhältnis 2 zu 1
- Umkreismittelpunkt, der Mittelpunkt des Kreises durch alle drei Eckpunkte, im Abstand des Umkreisradius R von jeder Ecke
- Inkreismittelpunkt, der Mittelpunkt des größten einbeschriebenen Kreises, im Abstand des Inkreisradius r von jeder Seite
- Höhenschnittpunkt (Orthozentrum), der gemeinsame Schnittpunkt der drei Höhen
Bei einem gleichseitigen Dreieck fallen alle vier Punkte exakt zusammen. Bei jedem anderen Dreieck liegen sie dagegen an unterschiedlichen Stellen, abhängig von der Form des Dreiecks.
Wofür braucht man eine Dreiecksberechnung?
- Schule und Studium. Wie löst man Geometrieaufgaben zu Dreiecken nachvollziehbar und mit vollständigem Rechenweg?
- Vermessung und Bauwesen. Wie berechnet man aus wenigen gemessenen Strecken und Winkeln ein vollständiges Grundstücks- oder Bauteildreieck?
- Technik und Konstruktion. Wie lässt sich ein Dreieckselement in einer Konstruktion über bekannte Kantenlängen und Winkel vollständig bestimmen?
- Navigation. Wie berechnet man Entfernungen über die Triangulation aus bekannten Winkeln und einer Basislinie?
Wie genau ist der Dreieck-Rechner?
Der Rechner berechnet exakte geometrische Werte auf Basis der eingegebenen Maße, unter Verwendung von Kosinussatz, Sinussatz und dem Satz des Heron. Vor der Berechnung prüft er automatisch die Dreiecksungleichung, sodass geometrisch unmögliche Eingaben, etwa zu kurze Seiten, als Fehlermeldung erkannt werden.
Bei der mehrdeutigen Eingabekombination SsW zeigt der Rechner transparent beide möglichen Lösungen an, statt nur eine davon willkürlich auszuwählen.
