Warum wird bei der Stichprobe durch n − 1 statt durch n geteilt?

Diese sogenannte Bessel-Korrektur gleicht aus, dass eine Stichprobe die tatsächliche Streuung der Grundgesamtheit im Schnitt leicht unterschätzt. Die Division durch n − 1 statt durch n vergrößert das Ergebnis geringfügig und liefert dadurch einen unverzerrten Schätzer für die Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Kann die Standardabweichung negativ sein?

Nein. Da bei der Berechnung ausschließlich quadrierte Abweichungen und deren Quadratwurzel verwendet werden, ist die Standardabweichung immer größer oder gleich 0. Ein Wert von 0 bedeutet, dass alle Werte im Datensatz identisch sind.

Was sagt eine hohe Standardabweichung im Vergleich zu einer niedrigen aus?

Eine hohe Standardabweichung zeigt eine starke Streuung der Werte um den Mittelwert, eine niedrige Standardabweichung zeigt, dass die Werte eng beieinander liegen. Ob ein Wert als hoch oder niedrig gilt, hängt immer vom Kontext und von der Größenordnung der Ausgangsdaten ab.

Wie hängen Standardabweichung und Variationskoeffizient zusammen?

Der Variationskoeffizient setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert und wird meist in Prozent angegeben. Er eignet sich besonders, um die relative Streuung unterschiedlicher Datensätze zu vergleichen, auch wenn diese verschiedene Einheiten oder Größenordnungen besitzen.

Verändert ein Ausreißer die Standardabweichung stark?

Ja. Da bei der Berechnung Abweichungen quadriert werden, wirken sich einzelne extreme Werte überproportional stark auf die Standardabweichung aus. Ein einzelner Ausreißer kann die Standardabweichung deutlich stärker verändern als den Median.

Welche Rolle spielt die Standardabweichung bei der Normalverteilung?

Bei normalverteilten Daten bestimmt die Standardabweichung die Breite der Glockenkurve. Innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen rund 68 % aller Werte, innerhalb von zwei Standardabweichungen rund 95 % und innerhalb von drei Standardabweichungen rund 99,7 %.

Standardabweichung Rechner – Standardabweichung berechnen

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß, das angibt, wie stark die einzelnen Werte einer Datenmenge im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben σ (Grundgesamtheit) oder s (Stichprobe) bezeichnet.

Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Mittelwert liegen. Eine große Standardabweichung zeigt, dass die Werte stark streuen und weiter vom Mittelwert entfernt sind.

Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und sich trotzdem stark unterscheiden, wenn ihre Streuung unterschiedlich ausfällt. Erst die Standardabweichung macht diesen Unterschied sichtbar und liefert damit eine wichtige Ergänzung zu Lagemaßen wie Mittelwert oder Median.

Das Wichtigste in Kürze:

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz
Sie wird in derselben Einheit wie die Ausgangsdaten angegeben, anders als die Varianz
Bei einer Stichprobe wird durch n − 1 geteilt, bei der Grundgesamtheit durch n
Eine Standardabweichung von 0 bedeutet, dass alle Werte identisch sind
Die Standardabweichung ist die Grundlage der 68-95-99,7-Regel bei normalverteilten Daten

Wie funktioniert der Standardabweichung-Rechner?

Unser Standardabweichung-Rechner berechnet Varianz und Standardabweichung einer beliebigen Zahlenreihe und zeigt zusätzlich den vollständigen Rechenweg sowie eine Normalverteilungskurve.

Eingaben

Zahlenliste, tragen Sie Ihre Werte in das Eingabefeld ein, getrennt durch Leerzeichen, Komma, Semikolon oder Zeilenumbruch. Zeilen, die mit # beginnen, gelten als Kommentar und werden ignoriert
Datensatztyp, wählen Sie zwischen Stichprobe (n − 1) und Grundgesamtheit (n), je nachdem, ob Ihre Daten eine vollständige Population oder nur einen Ausschnitt davon abbilden
Nachkommastellen, wählen Sie zwischen 0 und 4 Dezimalstellen für die Anzeige aller Ergebnisse

Ergebnisse

Nach dem Klick auf Standardabweichung berechnen zeigt der Rechner folgende Auswertungen an:

Standardabweichung, Hauptergebnis in der gewählten Berechnungsart
Kennzahlen, Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, Anzahl (n), Spannweite und Variationskoeffizient
Stichprobe vs. Grundgesamtheit, direkter Vergleich beider Berechnungsarten, ohne den Datensatztyp umschalten zu müssen
Schritt-für-Schritt-Lösung, Mittelwert, quadrierte Abweichungen, Summe und finale Formel
Abweichungstabelle, jeder Wert mit Abweichung und quadrierter Abweichung
Normalverteilung, Glockenkurve mit eingezeichneter 68-95-99,7-Regel

Die Standardabweichung-Formel

Für die Stichprobe und die Grundgesamtheit gelten unterschiedliche Formeln:

Grundgesamtheit:  σ = √( Σ(x - x̄)² / n )
Stichprobe:       s = √( Σ(x - x̄)² / (n - 1) )

Bedeutung der Formelzeichen:

x, die einzelnen Werte der Datenmenge
x̄, der Mittelwert aller Werte
n, die Gesamtanzahl der Werte
Σ, die Summe über alle quadrierten Abweichungen

Die Division durch n − 1 bei der Stichprobe wird als Bessel-Korrektur bezeichnet. Sie gleicht aus, dass eine Stichprobe die Streuung der Grundgesamtheit tendenziell unterschätzt, und liefert dadurch einen unverzerrten Schätzer.

Für die manuelle Berechnung mit einem einfachen Taschenrechner eignet sich eine mathematisch gleichwertige, aber leichter eintippbare Variante der Varianzformel:

Alternative Varianzformel:  σ² = ( Σ(x²) − (Σx)² / n ) / n

Diese Formel vermeidet das wiederholte Subtrahieren des Mittelwerts von jedem einzelnen Wert und lässt sich direkt aus der Summe der Werte und der Summe ihrer Quadrate berechnen. Unser Rechner verwendet intern die ursprüngliche Formel über die Abweichungen, da diese numerisch stabiler ist.

Beispiele für die Standardabweichung-Berechnung

Beispiel 1, kleiner Datensatz

Gegeben sind die Werte 10, 34, 23, 54, 9.

Schritt 1, Mittelwert:         (10 + 34 + 23 + 54 + 9) / 5 = 26
Schritt 2, Abweichungen:       -16, 8, -3, 28, -17
Schritt 3, quadriert:          256, 64, 9, 784, 289
Schritt 4, Summe:              1.402
Schritt 5a, Stichprobe (n-1):  s = √(1.402 / 4) = √350,5 = 18,72
Schritt 5b, Grundgesamtheit:   σ = √(1.402 / 5) = √280,4 = 16,75

Die Stichproben-Standardabweichung fällt hier höher aus als die der Grundgesamtheit, weil durch die kleinere Zahl n − 1 geteilt wird.

Beispiel 2, Vergleich zweier Datensätze

Zwei Messreihen mit demselben Mittelwert von 50, aber unterschiedlicher Streuung, berechnet als Grundgesamtheit (n):

Reihe A:  48, 49, 50, 51, 52
          Abweichungen:    -2, -1, 0, 1, 2
          quadriert:       4, 1, 0, 1, 4
          Summe:           10
          σ = √(10 / 5) = √2 = 1,41

Reihe B:  20, 35, 50, 65, 80
          Abweichungen:    -30, -15, 0, 15, 30
          quadriert:       900, 225, 0, 225, 900
          Summe:           2.250
          σ = √(2.250 / 5) = √450 = 21,21

Beide Reihen haben denselben Mittelwert, unterscheiden sich aber deutlich in der Streuung. Reihe A liegt eng um den Mittelwert, Reihe B streut sehr stark. Dieser Unterschied wäre allein am Mittelwert nicht erkennbar und zeigt, warum die Standardabweichung als ergänzendes Streuungsmaß wichtig ist.

Varianz und Standardabweichung im Vergleich

Varianz und Standardabweichung hängen direkt zusammen, werden aber unterschiedlich interpretiert:

Varianz, mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert, Einheit ist quadriert, etwa m² oder €²
Standardabweichung, Quadratwurzel der Varianz, Einheit entspricht wieder den Ausgangsdaten, etwa m oder €

Da die Varianz quadrierte Einheiten verwendet, lässt sie sich schwer anschaulich interpretieren. Die Standardabweichung wird deshalb in der Praxis deutlich häufiger angegeben, weil sie direkt mit den Ausgangswerten vergleichbar ist.

Wer nur den Mittelwert seiner Daten benötigt, nutzt dafür unseren Durchschnitt-Rechner, für den Median den Median-Rechner.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Welche Formel Sie verwenden, hängt davon ab, ob Ihre Daten die gesamte Population abbilden oder nur einen Ausschnitt davon.

Grundgesamtheit verwenden, wenn wirklich alle relevanten Werte vorliegen, etwa die Körpergröße aller Mitarbeiter eines kleinen Unternehmens
Stichprobe verwenden, wenn nur ein Teil der Werte erhoben wurde und daraus auf eine größere Grundgesamtheit geschlossen werden soll, etwa eine Umfrage unter 500 von 50.000 Kunden

In der Praxis liegt meist eine Stichprobe vor, weshalb die Stichproben-Standardabweichung mit der Bessel-Korrektur die häufiger verwendete Variante ist.

Bei größeren Datensätzen nähern sich beide Werte zudem zunehmend an, da der Unterschied zwischen n und n − 1 relativ zur Gesamtzahl der Werte immer kleiner wird. Bei kleinen Stichproben mit wenigen Werten fällt die Abweichung zwischen beiden Berechnungsarten dagegen deutlich stärker ins Gewicht.

Wann sollte man die Standardabweichung berechnen?

Die Standardabweichung eignet sich immer dann, wenn nicht nur die zentrale Tendenz, sondern auch die Streuung einer Datenmenge von Interesse ist. Typische Anwendungsfälle sind:

Qualitätskontrolle, Fertigungstoleranzen und Messreihen werden auf ihre Streuung geprüft, um Ausreißer zu erkennen
Finanzen, die Standardabweichung von Renditen gilt als gängiges Maß für das Risiko einer Geldanlage und wird in diesem Zusammenhang häufig auch als Volatilität bezeichnet
Wissenschaft und Forschung, Messunsicherheiten und Streuung experimenteller Daten werden mit der Standardabweichung angegeben
Bildung, die Streuung von Testergebnissen zeigt, wie einheitlich oder unterschiedlich eine Gruppe abgeschnitten hat

Standardabweichung mit Tabellenkalkulation berechnen

Für schnelle Kontrollrechnungen eignen sich auch Excel oder Google Sheets. Beide Programme stellen dafür eigene Funktionen bereit, die zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit unterscheiden.

Stichprobe, in Excel und Google Sheets berechnet die Funktion STABW.S beziehungsweise STDEV.S die Stichproben-Standardabweichung aus einem Zellbereich
Grundgesamtheit, die Funktion STABW.N beziehungsweise STDEV.P liefert die Standardabweichung der Grundgesamtheit

Mit dem passenden Zellbereich als Argument liefern beide Funktionen denselben Wert, den auch unser Rechner ausgibt. Für die Varianz existieren mit VARIANZ.S und VARIANZ beziehungsweise VAR.S und VAR.P die entsprechenden Pendants.

Standardfehler des Mittelwerts

Eng verwandt mit der Standardabweichung ist der Standardfehler des Mittelwerts (Standard Error of the Mean, SEM). Während die Standardabweichung angibt, wie stark einzelne Werte um den Mittelwert streuen, beschreibt der Standardfehler, wie genau der berechnete Mittelwert einer Stichprobe den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit schätzt.

Standardfehler:  SEM = s / √n

Der Standardfehler sinkt mit wachsender Stichprobengröße, da größere Stichproben den wahren Mittelwert im Durchschnitt präziser abbilden. Er wird häufig für Konfidenzintervalle und Fehlerbalken in Diagrammen verwendet, während die Standardabweichung die Streuung der Rohdaten selbst beschreibt.

Vorteile und Grenzen der Standardabweichung

1. Vorteile

Bezieht jeden einzelnen Wert in die Berechnung ein, nicht nur Position oder Rang
Liegt in derselben Einheit wie die Ausgangsdaten vor und ist dadurch leicht interpretierbar
Bildet die Grundlage zahlreicher statistischer Verfahren, etwa Konfidenzintervalle und Signifikanztests
Erlaubt über den Variationskoeffizienten den Vergleich der Streuung unterschiedlicher Datensätze

Der Variationskoeffizient setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert und wird meist in Prozent angegeben:

Variationskoeffizient:  VarK = s / x̄  (bzw. σ / μ)

Ein Variationskoeffizient von 0,5 entspricht dabei einer relativen Streuung von 50 %. Da der Mittelwert im Nenner steht, ist der Variationskoeffizient nur aussagekräftig, wenn der Mittelwert deutlich von 0 verschieden ist.

2. Grenzen

Reagiert empfindlich auf Ausreißer, da Abweichungen quadriert werden
Setzt für eine sinnvolle Interpretation annähernd normalverteilte Daten voraus
Liefert bei stark schiefen Verteilungen weniger aussagekräftige Ergebnisse als robuste Streuungsmaße
Erfordert mindestens zwei Werte für die Stichproben-Berechnung

Wie genau ist der Standardabweichung-Rechner?

Der Standardabweichung-Rechner berechnet Varianz und Standardabweichung direkt aus den eingegebenen Werten, ohne Näherungsverfahren. Rundungen erfolgen ausschließlich für die Anzeige, gesteuert über die gewählte Anzahl an Nachkommastellen.

Da beide Berechnungsarten, Stichprobe und Grundgesamtheit, parallel berechnet und im Vergleichsabschnitt gegenübergestellt werden, lässt sich jederzeit nachvollziehen, wie stark sich die beiden Werte bei Ihrem konkreten Datensatz unterscheiden.

Häufige Fehler bei der Standardabweichung-Berechnung

Stichprobe und Grundgesamtheit verwechselt, die falsche Formel führt bei kleinen Datensätzen zu spürbar abweichenden Ergebnissen
Varianz mit Standardabweichung verwechselt, die Varianz ist quadriert und daher nicht direkt mit den Ausgangswerten vergleichbar
Vorzeichen bei Abweichungen ignoriert, negative und positive Abweichungen dürfen vor dem Quadrieren nicht einfach addiert werden, sonst heben sie sich gegenseitig auf
Zu wenige Werte, für die Stichproben-Standardabweichung werden mindestens 2 Werte benötigt, da sonst durch 0 geteilt würde

Wissenschaftliche Grundlagen der Standardabweichung

Die Standardabweichung gehört zu den Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik und ergänzt Lagemaße wie Mittelwert und Median um eine Aussage zur Variabilität der Daten.

Bei normalverteilten Daten gilt die empirische 68-95-99,7-Regel. Sie bildet die Grundlage vieler statistischer Tests und Konfidenzintervalle:

Rund 68 % aller Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert
Rund 95 % aller Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert
Rund 99,7 % aller Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen um den Mittelwert

Für den Begriff Standardabweichung gibt es in der Fachliteratur zwei gängige Symbole: σ für die Grundgesamtheit und s für die Stichprobe. Beide werden ausschließlich für die Standardabweichung verwendet, während σ² und s² jeweils die zugehörige Varianz bezeichnen.

In der Inferenzstatistik dient die Standardabweichung außerdem als Grundlage für mehrere zentrale Verfahren:

Den t-Test, zur Prüfung von Unterschieden zwischen Mittelwerten zweier Gruppen
Die Berechnung von Konfidenzintervallen, zur Schätzung eines Wertebereichs für die Grundgesamtheit
Die Bestimmung der statistischen Signifikanz von Unterschieden zwischen Gruppen

Standardabweichung im Vergleich zur Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert eines Datensatzes und damit das einfachste Streuungsmaß überhaupt. Sie lässt sich ohne weitere Berechnung direkt ablesen, hat gegenüber der Standardabweichung aber deutliche Nachteile:

Spannweite, berücksichtigt nur die beiden Extremwerte, ist leicht zu berechnen, reagiert aber sehr empfindlich auf einzelne Ausreißer
Standardabweichung, bezieht jeden einzelnen Wert in die Berechnung ein, ist aufwendiger zu berechnen, liefert dafür aber ein deutlich stabileres und aussagekräftigeres Bild der tatsächlichen Datenverteilung

Ein einzelner Ausreißer kann die Spannweite stark verzerren, ohne dass sich an der eigentlichen Verteilung der übrigen Werte etwas ändert. Unser Rechner zeigt die Spannweite deshalb zusätzlich zur Standardabweichung an, damit sich beide Kennzahlen direkt vergleichen lassen.

Standardabweichung Rechner